http://repository.ukd.edu.ua/xmlui/handle/123456789/2068 2026-04-23T17:29:23Z 2026-04-23T17:29:23Z Морушко, Ольга Василівна Мосюрчак, Віктор Михайлович http://repository.ukd.edu.ua/xmlui/handle/123456789/2073 2026-03-12T01:00:36Z 2025-01-01T00:00:00Z

Радикальна фільтрація брейсів у конструкції багаторівневих криптографічних протоколів Морушко, Ольга Василівна; Мосюрчак, Віктор Михайлович У статті досліджується застосування теорії брейсів, зокрема радикальних послідовностей та структури цоколя, для розробки нових багаторівневих криптографічних протоколів. Брейси –алгебраїчні структури, введені В. Румпом для вивчення розв’язків рівняння Янга-Бакстера, –володіють унікальними властивостями, що роблять їх перспективними для застосування в постквантовій криптографії.Основна ідея дослідження полягає у використанні природної ієрархічної структури радикальної послідовності брейса для побудови ієрархічної системи шифрування з різними рівнями доступу. Кожен елемент радикальної послідовності визначає окремий рівень безпеки, що дозволяє реалізувати гнучке управління доступом до зашифрованої інформації.У роботі запропоновано конструкцію багаторівневої схеми шифрування, яка включає три основні алгоритми: генерації ключів (KeyGen), шифрування (Encrypt) та дешифрування (Decrypt). Алгоритм генерації ключів обчислює радикальну послідовність вибраного брейса та формує ієрархію секретних ключів, кожен з яких відповідає певному рівню радикала. Алгоритм шифрування використовує структуру фактор-брейса для шифрування повідомлень на заданому рівні доступу. Алгоритм дешифрування забезпечує, що користувач може розшифрувати лише ті повідомлення, для яких його рівень доступу є достатнім.Проведено детальний криптографічний аналіз запропонованої схеми. Показано, що запропонована конструкція задовольняє вимоги безпеки IND-CPA (невідрізненість при атаці з вибором відкритого тексту). Окремо доведено факт про ієрархічну безпеку, яка гарантує, що користувачі нижчих рівнів не можуть отримати доступ до інформації вищих рівнів без знання додаткових секретних параметрів.Особливу увагу приділено питанню стійкості до квантових атак. Обґрунтовано, що некомутативна структура брейсів робить запропонований протокол потенційно стійким до атак за допомогою квантових комп’ютерів, оскільки алгоритм Шора не застосовний до некомутативних груп, а квантові алгоритми для прихованих підгруп у некомутативних структурах мають експоненційну складність.Проведено аналіз обчислювальної складності всіх алгоритмів протоколу. Запропоновано методи оптимізації, включаючи попереднє обчислення ради-кальної послідовності.У матеріалі представлено формальну модель запропонованого методу, проаналізовано його стійкість до відомих типів атак та проведено порівняльний аналіз ефективності з класичними підходами. Результати дослідження підт-верджують, що застосування радикальної фільтрації є ефективним інстру-ментом для підвищення криптографічної стійкості без суттєвого зниження продуктивності протоколу.Результати дослідження відкривають новий напрямок застосування алгебраїчних структуру криптографії та створюють теоретичну основу для розробки постквантових криптографічних систем з багаторівневим доступом. Визначено перспективні напрямки подальших досліджень, включаючи класифікацію брейсів за криптографічними властивостями, оптимізацію обчислень, формальне доведення квантової стійкості та практичну реалізацію у програмному забезпеченні. The article investigates the application of brace theory, in particular radical sequences and base structures, for the development of new multi-level cryptographic protocols. Braces –algebraic structures introduced by W. Rumpto study solutions to the Yang-Baxter equation –have unique properties that make them promising for use in post-quantum cryptography.The main idea of the research is to use the natural hierarchical structure of the radical sequence of a brace to construct a hierarchical encryption system with different access levels. Each element of the radical sequence defines a separate security level, which allows for flexible control of access to encrypted information.The paper proposes a multi-level encryption scheme design that includes threemain algorithms: key generation (KeyGen), encryption (Encrypt), and decryption (Decrypt). The key generation algorithm calculates the radical sequence of the selected brace and forms a hierarchy of secret keys, each of which corresponds to a specific radical level. The encryption algorithm uses the factor-brace structure to encrypt messages at a given access level. The decryption algorithm ensures that the user can decrypt only those messages for which his access level is sufficient.A detailed cryptographic analysis of the proposed scheme has been performed. It has been shown that the proposed design satisfies the IND-CPA security requirements (indistinguishability under a chosen plaintext attack). Separately, a fact on hierarchical security has been proven, which guarantees that lower-level users cannot access higher-level information without knowing additional secret parameters.Particular attention is paid to the issue of resistance to quantum attacks. It is justified that the noncommutative structure ofbraces makes the proposed protocol potentially resistant to attacks using quantum computers, since Shor's algorithm is not applicable to noncommutative groups, and quantum algorithms for hidden subgroups in noncommutative structures have exponential complexity.The computational complexity of all algorithms of the protocol is analyzed. Optimization methods are proposed, including the precomputation of the radical sequence.The paper presents a formal model of the proposed method, analyzes its resistance to known types of attacks, and conducts a comparative analysis of its effectiveness with classical approaches. The results of the study confirm that the use of radical filtering is an effective tool for improving cryptographic resistance withoutsignificantly reducing the performance of the protocol.The results of the study open up a new direction for the application of algebraic structures in cryptography and create a theoretical basis for the development of post-quantum cryptographic systems with multi-level access. Promising areas for further research have been identified, including the classification of braces according to cryptographic properties, optimization of calculations, formal proof of quantum resistance, and practical implementation in software. Морушко О. В., Мосюрчак В. М. Радикальна фільтрація брейсів у конструкції багаторівневих криптографічних протоколів=Radical filtration of braces in the construction of multi-level cryptographic protocols // Наука і техніка сьогодні (Серія «Педагогіка», Серія «Право», Серія «Економіка», Серія «Фізико-математичні науки», Серія «Техніка»): журнал, 2025. Випуск 11(52). С. 2483-2496: табл.1. https://orcid.org/0009-0008-4002-4636

2025-01-01T00:00:00Z Мосюрчак, Віктор Михайлович http://repository.ukd.edu.ua/xmlui/handle/123456789/2072 2026-03-12T01:00:33Z 2025-05-09T00:00:00Z

Використання штучного інтелекту в розробці мобільних додатків Мосюрчак, Віктор Михайлович Мосюрчак В. Використання штучного інтелекту в розробці мобільних додатків // Концептуальні проблеми розвитку сучасної гуманітарної та прикладної науки: матеріали ІХ Міжнародного науково-практичного симпозіуму (м. Івано-Франківськ, 9 травня 2025 року). Івано-Франківськ: Редакційно-видавничий відділ ЗВО «Університет Короля Данила» , 2025. С. 210–213.

2025-05-09T00:00:00Z Морушко, Ольга Василівна Мосюрчак, Віктор Михайлович Морушко, Роман Михайлович http://repository.ukd.edu.ua/xmlui/handle/123456789/2071 2026-03-12T01:00:32Z 2025-01-01T00:00:00Z

Задача встановлення взаємозв'язку між брейсами та групами в контексті технічних систем Морушко, Ольга Василівна; Мосюрчак, Віктор Михайлович; Морушко, Роман Михайлович Стаття присвячена дослідженню задачі встановлення взаємозв'язку між брейсами та групами в контексті технічних систем. Важливість цієї проблеми полягає в тому, що правильно встановлений взаємозв'язок між окремими елементами технічних систем, такими як брейси (структурні елементи, що забезпечують стабільність і з'єднання), та відповідними групами елементів є критично важливим для ефективної та безпечної роботи складних інженерних конструкцій. Брейси є ключовими компонентами в багатьох інженерних конструкціях, таких як будівельні об'єкти, транспортні засоби, а також в інших галузях техніки, де необхідно забезпечити надійність і міцність систем. Встановлення взаємозв'язку між брейсами та групами є важливою частиною проектування та оптимізації технічних систем, що дозволяє досягти максимальної ефективності та зменшити ризики, пов'язані з їх експлуатацією.У роботі розглядається математична структура під назвою брейс (brace), яка об'єднує властивості груп та кілець, створюючи єдиний алгебраїчний об'єкт з широким спектром застосувань. Брейс визначається як абелева група, що має додаткову мультиплікативну операцію, яка також утворює групу, причому ці операції пов'язані специфічною тотожністю.Дослідження встановлює тісний зв'язокміж брейсами та радикальними кільцями, демонструючи, що брейс є ліво-дистрибутивним тоді і тільки тоді, коли він є радикальним кільцем. У роботі доведено, що брейси еквівалентні лінійним циклічним множинам, і детально проаналізовано алгебраїчні властивості, які характеризують ці структури.Задача взаємозв'язку брейсів і груп вимагає мультидисциплінарного підходу, оскільки питання, що пов'язані з матеріалами, механікою, математичним моделюванням і навіть комп'ютерними технологіями, стають невід'ємною частиною процесу оптимізації технічних систем. Врахування всіх цих факторів дозволяє створити універсальні методи для проектування та адаптації конструкцій до специфічних вимог та умов експлуатації. Це має особливе значення в сучасному інженерному світі, де часто зустрічаються складні технічні задачі, що вимагають комплексного підходу для досягнення бажаних результатів.Особливу увагу приділено круговій операції, яка перетворює брейс на групу, створюючи приєднану групу. Автори формулюють і доводять ключове твердження, що абелева група з правостороннім дистрибутивним множенням є брейсом тоді і тільки тоді, коли вона утворює групу відносно кругової операції.Також розглядається поняття модуля над брейсом і встановлюється еквівалентність категорій таких модулів. Наведено конкретні приклади брейсів та їх конструкцій. Обґрунтовано актуальність дослідження цієї відносно нової математичної структури, введеної німецьким математиком Вольфрангом Румпом, зокрема для вивчення рівняння Янга-Бакстера, яке виникає в різних галузях математики та фізики. Встановлено, що брейси відіграють важливу роль у пошуку інволютивних рішень цього рівняння та класифікації різних типів груп, особливо нільпотентних. Результати дослід-ження розширюють розуміння взаємозв'язків між фундаментальними алгебраїчними структурами та створюють основу для подальших досліджень у цій області.Таким чином, стаття є важливим внеском у розуміння принципів побудови та оптимізації взаємозв'язків між брейсами і групами в технічних системах. Вона пропонує нові підходи до вирішення складних задач у галузі проектування та функціонування інженерних конструкцій, що допомагають досягти високої ефективності, безпеки та довговічності об'єктів, забезпечуючи при цьому мінімальні витрати на обслуговування і максимальну стабільність систем. The article is devoted to the study of the problem of establishing the relationship between braces and groups in the context of technical systems. The importance of this problem lies in the fact that a properly established relationship between individual elements of technical systems, such as braces (structural elements that provide stability and connections), and the corresponding groups of elements is critical for the efficient and safe operation of complex engineering structures. Bracing is a key component in many engineering structures, such as buildings, vehicles, and other areas of engineering where it is necessary to ensure the reliability and strength of systems. Establishing the relationship between braces and groups is an important part of the design and optimization of technical systems, which allows to achieve maximum efficiency and reduce the risks associated with their operation.This paper discusses a mathematical structure called a brace, which combines the properties of groups and rings to create a single algebraic object with a wide range of applications. A brace is defined as an abelian group that has an additional multiplicative operation that also forms a group, and these operations are related by a specific identity.The study establishes a close connection between braids and radical rings, showing that a braid is left-distributive if and only if it is a radical ring. The paper proves that braces are equivalent to linear cyclic sets and analyzes in detail the algebraic properties that characterize these structures.The problem of interconnecting braces and groups requires a multidisciplinary approach, as issues related to materials, mechanics, mathematical modeling, and even computer technology become an integral part of the process of optimizing technical systems. Taking all these factors into account allows us to create universal methods for designing and adapting structures to specific requirements and operating conditions. This is of particular importance in the modern engineering world, where complex technical problems often occur that require an integrated approach to achieve the desired results.Particular attention is paid to the circular operation, which transforms a brace into a group by creating a connected group. The authors formulate and prove the key statement that an abelian group with right-handed distributive multiplication is a brace if and only if it forms a group with respect to the circular operation.We also consider the notion of a module over a brace and establish the equivalence of categories of such modules. Specific examples of braces and their constructions are given. The relevance of the study of this relatively new mathematical structure introduced by the German mathematician Wolfgang Rump is substantiated, in particular for the study of the Young-Baxter equation, which arises in various fields of mathematics and physics. It is shown that braces play an important role in finding involutional solutions to this equation and classifying different types of groups, especially nilpotent ones. The results of the study extend the understanding of the relationships between fundamental algebraic structures and create a basis for further research in this area.Thus, the article is an important contribution to the understanding of the principles of building and optimizing the relationships between braces and groups in technical systems. It offers new approaches to solving complex problems in the design and operation of engineering structures that help to achieve high efficiency,safety, and durability of facilities, while ensuring minimal maintenance costs and maximum system stability. Морушко О. В., Мосюрчак В. М., Морушко Р. М. Задача встановлення взаємозв'язку між брейсами та групами в контексті технічних систем=The problem of establishing the interconnection between braces and groups // Наука і техніка сьогодні (Серія «Педагогіка», Серія «Право», Серія «Економіка», Серія «Фізико-математичні науки», Серія «Техніка»), 2025. № 3(44). С. 1340-1349. https://orcid.org/0009-0008-4002-4636

2025-01-01T00:00:00Z Мосюрчак, Віктор Михайлович Морушко, Ольга Василівна http://repository.ukd.edu.ua/xmlui/handle/123456789/2070 2026-03-11T01:00:39Z 2024-11-27T00:00:00Z

Використання динамічного середовища GEOGEBRA при вивченні геометрії Мосюрчак, Віктор Михайлович; Морушко, Ольга Василівна У роботі показано доцільність створення якісних навчальних матеріалів у динамічному математичному середовищі GeoGebra, що дозволяє оптимізувати навчальний процес у середній школі. Дана програма дозволяє ставити геометричні досліди, проводити експерименти, ілюструвати формули та теореми, встановлювати залежності між геометричними величинами тощо. Мосюрчак В. М., Морушко О. В. Використання динамічного середовища GeoGebra при вивченні геометрії // Проблеми та перспективи фахової підготовки вчителя математики: зб. наук. праць за матеріалами У Міжнародної науково-практичної конференції (м. Вінниця, 27 -28 листопада 2024 р.). Вінниця: Вінниц. держ. пед. ун-т імені М. Коцюбинського, 2024. С. 161–163. ORCID: 0009-0008-4002-4636.

2024-11-27T00:00:00Z