Радикальна фільтрація брейсів у конструкції багаторівневих криптографічних протоколів

Abstract

У статті досліджується застосування теорії брейсів, зокрема радикальних послідовностей та структури цоколя, для розробки нових багаторівневих криптографічних протоколів. Брейси –алгебраїчні структури, введені В. Румпом для вивчення розв’язків рівняння Янга-Бакстера, –володіють унікальними властивостями, що роблять їх перспективними для застосування в постквантовій криптографії.Основна ідея дослідження полягає у використанні природної ієрархічної структури радикальної послідовності брейса для побудови ієрархічної системи шифрування з різними рівнями доступу. Кожен елемент радикальної послідовності визначає окремий рівень безпеки, що дозволяє реалізувати гнучке управління доступом до зашифрованої інформації.У роботі запропоновано конструкцію багаторівневої схеми шифрування, яка включає три основні алгоритми: генерації ключів (KeyGen), шифрування (Encrypt) та дешифрування (Decrypt). Алгоритм генерації ключів обчислює радикальну послідовність вибраного брейса та формує ієрархію секретних ключів, кожен з яких відповідає певному рівню радикала. Алгоритм шифрування використовує структуру фактор-брейса для шифрування повідомлень на заданому рівні доступу. Алгоритм дешифрування забезпечує, що користувач може розшифрувати лише ті повідомлення, для яких його рівень доступу є достатнім.Проведено детальний криптографічний аналіз запропонованої схеми. Показано, що запропонована конструкція задовольняє вимоги безпеки IND-CPA (невідрізненість при атаці з вибором відкритого тексту). Окремо доведено факт про ієрархічну безпеку, яка гарантує, що користувачі нижчих рівнів не можуть отримати доступ до інформації вищих рівнів без знання додаткових секретних параметрів.Особливу увагу приділено питанню стійкості до квантових атак. Обґрунтовано, що некомутативна структура брейсів робить запропонований протокол потенційно стійким до атак за допомогою квантових комп’ютерів, оскільки алгоритм Шора не застосовний до некомутативних груп, а квантові алгоритми для прихованих підгруп у некомутативних структурах мають експоненційну складність.Проведено аналіз обчислювальної складності всіх алгоритмів протоколу. Запропоновано методи оптимізації, включаючи попереднє обчислення ради-кальної послідовності.У матеріалі представлено формальну модель запропонованого методу, проаналізовано його стійкість до відомих типів атак та проведено порівняльний аналіз ефективності з класичними підходами. Результати дослідження підт-верджують, що застосування радикальної фільтрації є ефективним інстру-ментом для підвищення криптографічної стійкості без суттєвого зниження продуктивності протоколу.Результати дослідження відкривають новий напрямок застосування алгебраїчних структуру криптографії та створюють теоретичну основу для розробки постквантових криптографічних систем з багаторівневим доступом. Визначено перспективні напрямки подальших досліджень, включаючи класифікацію брейсів за криптографічними властивостями, оптимізацію обчислень, формальне доведення квантової стійкості та практичну реалізацію у програмному забезпеченні. The article investigates the application of brace theory, in particular radical sequences and base structures, for the development of new multi-level cryptographic protocols. Braces –algebraic structures introduced by W. Rumpto study solutions to the Yang-Baxter equation –have unique properties that make them promising for use in post-quantum cryptography.The main idea of the research is to use the natural hierarchical structure of the radical sequence of a brace to construct a hierarchical encryption system with different access levels. Each element of the radical sequence defines a separate security level, which allows for flexible control of access to encrypted information.The paper proposes a multi-level encryption scheme design that includes threemain algorithms: key generation (KeyGen), encryption (Encrypt), and decryption (Decrypt). The key generation algorithm calculates the radical sequence of the selected brace and forms a hierarchy of secret keys, each of which corresponds to a specific radical level. The encryption algorithm uses the factor-brace structure to encrypt messages at a given access level. The decryption algorithm ensures that the user can decrypt only those messages for which his access level is sufficient.A detailed cryptographic analysis of the proposed scheme has been performed. It has been shown that the proposed design satisfies the IND-CPA security requirements (indistinguishability under a chosen plaintext attack). Separately, a fact on hierarchical security has been proven, which guarantees that lower-level users cannot access higher-level information without knowing additional secret parameters.Particular attention is paid to the issue of resistance to quantum attacks. It is justified that the noncommutative structure ofbraces makes the proposed protocol potentially resistant to attacks using quantum computers, since Shor's algorithm is not applicable to noncommutative groups, and quantum algorithms for hidden subgroups in noncommutative structures have exponential complexity.The computational complexity of all algorithms of the protocol is analyzed. Optimization methods are proposed, including the precomputation of the radical sequence.The paper presents a formal model of the proposed method, analyzes its resistance to known types of attacks, and conducts a comparative analysis of its effectiveness with classical approaches. The results of the study confirm that the use of radical filtering is an effective tool for improving cryptographic resistance withoutsignificantly reducing the performance of the protocol.The results of the study open up a new direction for the application of algebraic structures in cryptography and create a theoretical basis for the development of post-quantum cryptographic systems with multi-level access. Promising areas for further research have been identified, including the classification of braces according to cryptographic properties, optimization of calculations, formal proof of quantum resistance, and practical implementation in software.